Convertisseur binaire vers décimal

Comment convertir binaire en décimal

Convertir le binaire en décimal utilise la notation positionnelle, le même principe que tous les systèmes de numération. Chaque chiffre d’un nombre binaire représente une puissance de 2, comme chaque chiffre d’un nombre décimal représente une puissance de 10. Comme le binaire est en base 2 et n’a que deux symboles (0 et 1), chaque position de bit double de valeur de droite à gauche : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc.

Méthode de notation positionnelle étape par étape

Étape 1 : écrire le nombre binaire

Écrivez chaque chiffre binaire. Par exemple : 10110

Étape 2 : attribuer les puissances de 2 à chaque position de bit de droite à gauche

En partant de la position 0 (bit le plus à droite), étiquetez chaque bit avec sa puissance de 2 :

Bit	1	0	1	1	0
Puissance	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
Valeur	16	8	4	2	1

Étape 3 : multiplier chaque bit par sa puissance de 2

• 1 × 2⁴ = 16
• 0 × 2³ = 0
• 1 × 2² = 4
• 1 × 2¹ = 2
• 0 × 2⁰ = 0

Étape 4 : additionner tous les produits pour obtenir le résultat décimal

16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22

Formule générale

Décimal = b(n) × 2ⁿ + b(n-1) × 2ⁿ⁻¹ + ... + b(1) × 2¹ + b(0) × 2⁰

où b(i) est le chiffre binaire à la position i (0 ou 1).

La méthode Double Dabble

La méthode Double Dabble, aussi appelée méthode du doublement, est un raccourci de calcul mental qui évite de calculer de grandes puissances de 2. Au lieu de multiplier chaque bit par sa puissance et d’additionner, vous parcourez le nombre binaire de gauche à droite avec une règle simple : doubler le total courant et ajouter le bit actuel.

Exemple Double Dabble : 11010 → décimal

Entrée binaire : 11010

1. Commencer avec le bit le plus à gauche : 1 (total courant = 1)
2. Doubler 1 = 2, ajouter le bit suivant 1 = 3
3. Doubler 3 = 6, ajouter le bit suivant 0 = 6
4. Doubler 6 = 12, ajouter le bit suivant 1 = 13
5. Doubler 13 = 26, ajouter le bit suivant 0 = 26

Résultat : binaire 11010 = décimal 26

Exemple Double Dabble : 10110011 → décimal

Entrée binaire : 10110011

1. Départ : 1
2. Doubler 1 = 2, ajouter 0 = 2
3. Doubler 2 = 4, ajouter 1 = 5
4. Doubler 5 = 10, ajouter 1 = 11
5. Doubler 11 = 22, ajouter 0 = 22
6. Doubler 22 = 44, ajouter 0 = 44
7. Doubler 44 = 88, ajouter 1 = 89
8. Doubler 89 = 178, ajouter 1 = 179

Résultat : binaire 10110011 = décimal 179

La méthode Double Dabble est particulièrement utile pour convertir de longs nombres binaires à la main, car vous n’avez jamais besoin de mémoriser de grandes puissances de 2.

Exemples de conversion

Convertir 1010 en décimal

• 1 × 2³ = 8
• 0 × 2² = 0
• 1 × 2¹ = 2
• 0 × 2⁰ = 0

8 + 0 + 2 + 0 = 10

Convertir 11111111 en décimal (8 bits tous à 1)

• 1 × 128 = 128
• 1 × 64 = 64
• 1 × 32 = 32
• 1 × 16 = 16
• 1 × 8 = 8
• 1 × 4 = 4
• 1 × 2 = 2
• 1 × 1 = 1

128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255

C’est la valeur non signée maximale pour un octet (8 bits) : 2⁸ − 1 = 255.

Convertir 10000000 en décimal

Seul le MSB (Most Significant Bit) est défini :

1 × 2⁷ = 128

En signé sur 8 bits (complément à deux), ce même motif de bits représente −128, la valeur la plus négative sur 8 bits.

Convertir 1100100 en décimal

• 1 × 64 = 64
• 1 × 32 = 32
• 0 × 16 = 0
• 0 × 8 = 0
• 1 × 4 = 4
• 0 × 2 = 0
• 0 × 1 = 0

64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 100

Table de conversion binaire vers décimal (référence rapide)

La table ci-dessous montre les puissances de 2 et des valeurs d’octet courantes. Pour les 256 valeurs d’octet (0–255), utilisez la table complète dans le convertisseur ci-dessus.

Décimal	Binaire (8 bits)	Hex	Octal
0	00000000	00	0
1	00000001	01	1
2	00000010	02	2
4	00000100	04	4
8	00001000	08	10
10	00001010	0A	12
16	00010000	10	20
32	00100000	20	40
42	00101010	2A	52
64	01000000	40	100
100	01100100	64	144
127	01111111	7F	177
128	10000000	80	200
255	11111111	FF	377

Cette table couvre la plage d’un seul octet (0–255). Pour les valeurs au-delà de 255, appliquez la même notation positionnelle à des nombres binaires plus longs.

Binaire signé et complément à deux

Le binaire non signé ne peut représenter que des nombres non négatifs. Pour représenter des nombres négatifs, les ordinateurs utilisent le complément à deux, le système binaire signé standard de presque tous les processeurs modernes.

Fonctionnement du complément à deux

En complément à deux, le bit de poids fort (MSB) est le bit de signe : 0 signifie positif, 1 signifie négatif. Les autres bits contiennent la magnitude, mais les valeurs négatives sont encodées en inversant tous les bits puis en ajoutant 1.

Exemple : convertir le binaire signé 8 bits 11111001 en décimal

1. Le MSB vaut 1, donc le nombre est négatif
2. Inverser tous les bits : 11111001 → 00000110
3. Ajouter 1 : 00000110 + 1 = 00000111 = 7
4. Appliquer le signe négatif : −7

Plage du complément à deux

Bits	Minimum	Maximum	Total de valeurs
8	−128	127	256
16	−32 768	32 767	65 536
32	−2 147 483 648	2 147 483 647	4 294 967 296

Fractions binaires vers décimal

Les nombres binaires peuvent avoir une partie fractionnaire, séparée par un point binaire (similaire au point décimal). Les bits après le point représentent des puissances négatives de 2 : 2⁻¹ = 0.5, 2⁻² = 0.25, 2⁻³ = 0.125, etc.

Exemple : convertir 101.11 en décimal

Partie entière (101) :

• 1 × 2² = 4
• 0 × 2¹ = 0
• 1 × 2⁰ = 1

Partie fractionnaire (.11) :

• 1 × 2⁻¹ = 0.5
• 1 × 2⁻² = 0.25

4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 = 5.75

Exemple : convertir 1.0101 en décimal

• 1 × 2⁰ = 1
• 0 × 2⁻¹ = 0
• 1 × 2⁻² = 0.25
• 0 × 2⁻³ = 0
• 1 × 2⁻⁴ = 0.0625

1 + 0 + 0.25 + 0 + 0.0625 = 1.3125

Note : certaines fractions décimales ne peuvent pas être représentées exactement en binaire (par exemple, 0.1 en décimal est une fraction périodique en binaire : 0.0001100110011...). C’est pourquoi l’arithmétique à virgule flottante peut produire de petites erreurs d’arrondi en programmation.

Binaire vers décimal en programmation

La plupart des langages fournissent des fonctions intégrées pour convertir des chaînes binaires en entiers décimaux.

Python

# Convertir une chaîne binaire en décimal
binary_str = "10110011"
decimal_value = int(binary_str, 2)
print(decimal_value)          # 179

# Littéral binaire en Python
x = 0b10110011
print(x)                      # 179

# Convertir le décimal en binaire
print(bin(179))               # '0b10110011'

# Complément à deux pour signé sur 8 bits
def signed_binary_to_decimal(binary_str, bits=8):
    value = int(binary_str, 2)
    if value >= 2**(bits - 1):
        value -= 2**bits
    return value

print(signed_binary_to_decimal("11111001"))  # -7
print(signed_binary_to_decimal("01111111"))  # 127

JavaScript

// Convertir une chaîne binaire en décimal
const binaryStr = "10110011";
const decimal = parseInt(binaryStr, 2);
console.log(decimal);           // 179

// Littéral binaire en JavaScript
const x = 0b10110011;
console.log(x);                 // 179

// Convertir le décimal en binaire
console.log((179).toString(2)); // '10110011'

// Pour les grandes valeurs binaires, utiliser BigInt
const bigBin = "1111111111111111111111111111111111111111";
const bigDec = BigInt("0b" + bigBin);
console.log(bigDec.toString()); // '1099511627775'

C

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>

long binaryToDecimal(const char *binary) {
    long decimal = 0;
    int len = strlen(binary);
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        if (binary[i] == '1') {
            decimal += (long)pow(2, len - 1 - i);
        }
    }
    return decimal;
}

int main() {
    printf("%ld\n", binaryToDecimal("10110011")); // 179
    printf("%ld\n", binaryToDecimal("11111111")); // 255
    printf("%ld\n", binaryToDecimal("1100100"));  // 100
    return 0;
}

Applications

• Architecture informatique : comprendre comment les processeurs traitent les données au niveau binaire et les convertissent en sortie décimale lisible
• Réseaux : les calculs d’adresse IP et de masque de sous-réseau nécessitent la conversion binaire-vers-décimal (par exemple masque 11111111.11111111.11111111.00000000 = 255.255.255.0)
• Électronique numérique : lire les sorties de capteurs, les valeurs ADC (convertisseur analogique-numérique) et les états de portes logiques
• Programmation : opérations bit à bit, drapeaux, permissions et débogage de données binaires
• Encodage des données : comprendre les encodages de caractères comme ASCII (7 bits) et UTF-8 (séquences binaires de longueur variable)
• Cryptographie : les opérations binaires sous-tendent le chiffrement XOR, les fonctions de hash et les chiffrements par bloc

Convertisseurs associés

• Convertisseur hexadécimal vers binaire — Convertissez des nombres hexadécimaux en binaire avec visualisation par groupes de 4 bits
• Convertisseur binaire vers octal — Convertissez des nombres binaires en octal (base 8) avec regroupement par 3 bits
• Traducteur binaire — Traduisez entre binaire et texte (ASCII/Unicode) dans les deux sens
• Convertisseur hexadécimal vers décimal — Convertissez des valeurs hexadécimales en nombres décimaux
• Encodeur/décodeur Base64 — Encodez et décodez des données en Base64