标准差计算器 — 计算标准差、方差与均值

标准差公式

标准差衡量数据围绕均值的离散程度。标准差低，说明数值集中在均值附近；标准差高，说明数值分布分散。

总体标准差（σ）

σ = √( Σ(xᵢ − x̄)² / N )

当数据集就是整个总体时使用，分母为 N。

样本标准差（s）

s = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (N−1) )

当数据是从更大总体中抽取的样本时使用，分母为 N−1（贝塞尔校正），以减少偏差。

符号说明：

• xᵢ — 每个数据值
• x̄ — 所有数值的算术均值
• N — 数据总个数
• Σ — 对所有数值求和

逐步计算示例

计算数据集 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 的总体标准差

1. 求均值： x̄ = (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5
2. 计算偏差平方： (2−5)² = 9，(4−5)² = 1，(4−5)² = 1，(4−5)² = 1，(5−5)² = 0，(5−5)² = 0，(7−5)² = 4，(9−5)² = 16
3. 偏差平方求和： 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
4. 除以 N（总体）： 方差 = 32 / 8 = 4
5. 取平方根： σ = √4 = 2

何时用总体，何时用样本

场景	使用
全班同学的考试成绩	总体（σ）
代表全体选民的 500 人调查	样本（s）
队伍中每位球员的身高	总体（σ）
生产批次的质量控制抽样	样本（s）
整月的每日气温	总体（σ）

经验法则：如果数据来自该群体的每一个成员，用总体；如果只测量了一部分，用样本。

方差与标准差

方差和标准差都衡量离散程度，但单位不同：

• 方差（σ² 或 s²） — 各数据点与均值之差的平方的平均值。单位是原始单位的平方（例如数据单位为 cm，则方差单位为 cm²）。平方运算放大了较大偏差的影响，也使数学处理更方便。
• 标准差（σ 或 s） — 方差的平方根，单位与原始数据相同，因此更易于解读。当有人说「数据在均值 ±2 个单位范围内波动」时，意思就是 ±1 个标准差。

解读标准差——68-95-99.7 法则

对于正态分布（钟形曲线）的数据，经验法则告诉我们各标准差范围内包含的数据比例：

• ±1σ — 约 68% 的数据落在均值 ±1 个标准差范围内。
• ±2σ — 约 95% 的数据落在均值 ±2 个标准差范围内。
• ±3σ — 约 99.7% 的数据落在均值 ±3 个标准差范围内。

示例：如果平均考试成绩为 70 分，σ = 10，则约 68% 的学生分数在 60 到 80 之间，约 95% 在 50 到 90 之间。

相关工具

• 五数概括计算器 — 计算最小值、Q1、中位数、Q3、最大值、四分位距等。
• 百分比计算器 — 计算百分比变化、某数的百分比等。