Calculateur de z-score — Calculer le z-score, la probabilité et le percentile
Un z-score mesure de combien d'écarts-types une valeur s'éloigne de la moyenne : z = (x − μ) / σ. Entrez votre valeur, la moyenne et l'écart-type pour calculer instantanément le z-score, la probabilité cumulée et le percentile, ou pour retrouver la valeur d'origine à partir d'un z-score.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un z-score ?
Un z-score (ou score standardisé) mesure de combien d'écarts-types un point de données s'éloigne de la moyenne de sa distribution. La formule est z = (x − μ) / σ, où x est la valeur, μ la moyenne et σ l'écart-type. Un z-score de 0 signifie que la valeur est égale à la moyenne ; les scores positifs sont au-dessus de la moyenne, les scores négatifs en dessous.
Comment calculer un z-score ?
Soustrayez la moyenne de votre valeur, puis divisez par l'écart-type : z = (x − μ) / σ. Par exemple, si une note d'examen est 85, que la moyenne de la classe est 70 et que l'écart-type est 10, le z-score est (85 − 70) / 10 = 1.5. Cela signifie que la note se situe 1.5 fois l'écart-type au-dessus de la moyenne.
Qu'indique un z-score ?
Un z-score indique où se situe une valeur par rapport au reste de la distribution. Un z-score de +2 signifie que la valeur se trouve approximativement dans les 2,3 % supérieurs de la distribution. Un z-score de −1 signifie qu'elle se trouve environ dans les 15,9 % inférieurs. Les z-scores permettent de comparer des valeurs issues de distributions différentes sur une échelle commune.
Qu'est-ce qu'un bon z-score ?
Cela dépend du contexte. Dans les tests standardisés, des z-scores plus élevés sont meilleurs. En contrôle qualité, des z-scores proches de 0 indiquent qu'un processus est près de sa cible. En statistique, |z| > 1.96 est souvent considéré comme statistiquement significatif au niveau de confiance de 95 %, et |z| > 3 sert fréquemment à repérer les valeurs aberrantes.
Comment convertir un z-score en percentile ?
Utilisez la fonction de répartition (CDF) de la loi normale standard. Un z-score de 0 correspond au 50e percentile. Un z-score de 1.645 correspond au 95e percentile. Un z-score de 1.96 correspond environ au 97,5e percentile. Ce calculateur calcule automatiquement le percentile.
Qu'est-ce que la probabilité cumulée dans les calculs de z-score ?
La probabilité cumulée (valeur de la fonction de répartition) est la probabilité qu'une valeur choisie au hasard dans la distribution soit inférieure ou égale à votre valeur observée. Par exemple, un z-score de 1.0 a une probabilité cumulée d'environ 0.8413, ce qui signifie qu'environ 84,13 % des valeurs se situent à ce point ou en dessous.
Quelle est la différence entre z-score et écart-type ?
L'écart-type (σ) mesure la dispersion d'un jeu de données entier : c'est un nombre unique qui décrit la variabilité. Un z-score applique l'écart-type à un point de données précis afin d'exprimer sa distance à la moyenne en unités d'écart-type. Autrement dit, z-score = (valeur − moyenne) / écart-type.
Un z-score peut-il être négatif ?
Oui. Un z-score négatif signifie simplement que la valeur est inférieure à la moyenne. Par exemple, si un élève obtient 60 à un examen dont la moyenne est 70 et l'écart-type 10, le z-score est (60 − 70) / 10 = −1.0, ce qui signifie que la note est 1 écart-type sous la moyenne.
Formule du z-score
Un z-score (aussi appelé score standardisé) mesure de combien d'écarts-types un point de données s'éloigne de la moyenne de sa distribution. La formule est :
Z-score
z = (x − μ) / σ
Où x est la valeur observée, μ la moyenne de la population et σ l'écart-type.
Exemple : x = 85, μ = 70, σ = 10 → z = (85 − 70) / 10 = 1.5
Valeur à partir du z-score (inverse)
x = μ + z × σ
Exemple : z = 1.5, μ = 70, σ = 10 → x = 70 + 1.5 × 10 = 85
Loi normale standard
La loi normale standard (aussi appelée distribution z) est une loi normale dont la moyenne vaut 0 et l'écart-type vaut 1. Lorsque vous convertissez une valeur en z-score, vous la standardisez sur cette distribution.
La probabilité cumulée (valeur de la fonction de répartition, ou CDF) indique quelle fraction des valeurs de la distribution se trouve à un z-score donné ou en dessous. Ce calculateur utilise l'approximation polynomiale d'Abramowitz & Stegun de la fonction d'erreur (erf) pour fournir des résultats rapides et précis.
Propriété clé : selon la règle empirique (règle 68–95–99,7) :
- ~68 % des données se situent dans z = ±1
- ~95 % des données se situent dans z = ±1.96
- ~99,7 % des données se situent dans z = ±3
Comment interpréter les z-scores
Z-score positif
Un z-score positif signifie que la valeur est au-dessus de la moyenne. Par exemple, z = 2.0 signifie que la valeur est 2 écarts-types au-dessus de la moyenne, ce qui la place environ au 97,7e percentile.
Z-score négatif
Un z-score négatif signifie que la valeur est en dessous de la moyenne. Par exemple, z = −1.0 signifie que la valeur est 1 écart-type sous la moyenne, ce qui la place environ au 15,9e percentile.
Z-score nul
Un z-score exactement égal à 0 signifie que la valeur est exactement égale à la moyenne, ce qui la place au 50e percentile.
Interprétation pratique
Les z-scores sont très utilisés dans les tests standardisés, le contrôle qualité (Six Sigma), la finance (mesure des rendements par rapport à des indices de référence) et la recherche (détection des valeurs aberrantes, calcul des valeurs p). Une valeur avec |z| > 3 est souvent traitée comme une valeur aberrante statistique.
Comment utiliser ce calculateur
- Sélectionnez un mode — choisissez "Trouver le z-score" pour convertir une valeur brute en z-score, ou "Trouver la valeur" pour convertir un z-score vers l'échelle d'origine.
- Entrez vos données — renseignez la valeur (ou le z-score), la moyenne et l'écart-type.
- Lisez le résultat instantanément — le calculateur affiche le z-score (ou la valeur), la probabilité cumulée et le percentile.
- Copiez les résultats — cliquez sur le bouton Copier pour copier tous les résultats dans votre presse-papiers.
Tableau des valeurs z courantes
Ces valeurs z critiques sont largement utilisées dans les tests d'hypothèse et les intervalles de confiance :
| Z-score | Niveau de confiance | Probabilité cumulée | Percentile |
|---|---|---|---|
| 1.282 | 80 % | 0.8997 | ~90e |
| 1.645 | 90 % | 0.9500 | ~95e |
| 1.960 | 95 % | 0.9750 | ~97,5e |
| 2.326 | 98 % | 0.9900 | ~99e |
| 2.576 | 99 % | 0.9950 | ~99,5e |
| 3.000 | 99,7 % | 0.9987 | ~99,9e |
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